Նախագիծ 5. Հավասարումներ և անհավասարումներ

Նախագիծ 4. Եռանկյունաչափության տարրեր

Դիտարկենք կոորդինատների սկզբնակետում կենտրոն և մեկ միավորի հավասար շառավիղ ունեցող շրջանագիծ (միավոր շրջանագիծ): Միավոր շրջանագծի վրա նշենք P0 (1;0) կետը (նկ.1): OP0 շառավիղը կոչվում է սկզբնական շառավիղ:
Եթե սկզբնական շառավիղը պտտվում է O կետի շուրջը ժամի սլաքի ուղղությամբ, ապա պտտման անկյունը համարվում է բացասական, իսկ եթե սկզբնական շառավիղ պտտվում է O կետի շուրջը ժամի սլաքին հակառակ, ապա պտտման անկյունը համարվում է դրական: Սկզբնական շառավիղը O կետի շուրջը α անկյունով պտտելիս P0 (1;0) կետը անցնում է Pα կետ
ին:

• Pα կետի օրդինատը կոչվում է α անկյան սինուս, իսկ աբսցիսը` α անկյան կոսինուս: 

• α անկյան տանգենս է կոչվում α անկյան սինուսի հարաբերությունը կոսինուսին:

•  α անկյան կոտանգենս է կոչվում α անկյան կոսինուսի հարաբերու- թյունը սինուսին: 

• Մեկ ռադիանի անկյունը այն կենտրոնական անկյունն է, որը շրջա- նագծից անջատում է նրա շառավղին հավասար երկարությամբ աղեղ: 
• 1 ռադ = 180 /π, 1*= 180/ π = ռադ, մասնավորապես` 180* = π ռադ.: 

Եռանկյունաչափական հիմնական բանաձևերը

sin²x + cos²x = 1

tgx	=	sinx
		cosx

ctgx	=	cosx
		sinx

tgx ctgx = 1

tg2x + 1	=	1
		cos2x

ctg2x + 1	=	1
		sin2x

Բերման բանաձևեր 

Նախագիծ 3. Լոգարիթմներ

Լոգարիթմ,  թվի լոգարիթմ  հիմքով, որտեղ , կոչվում է այն թիվը, որով պետք է աստիճան բարձրացնել  հիմքը  թիվը ստանալու համար։

Այն նշանակում են  տեսքով և կարդում «լոգարիթմ  հիմքով »։

Սահմանումից հետևում է, որ  հավասարումը համարժեք է  հավասարմանը  Օր՝ , քանի որ ։

 արտահայտությունը որոշված է այն և միայն այն դեպքում, երբ 

Լայն կիրառություն ունեն հետևյալ տեսքի լոգարիթմները.

• Բնական. հիմքը հանդիսանում է Էյլերի թիվը (e).
• Տասնորդական., հիմքը հանդիսանում է -ը.
• Երկուական., հիմքը հանդիսանում է -ը։

Սրանք լայն կիրառություն ունեն օրինակ ինֆորմատիկայում, շատ դիսկրետ մաթեմատիկական բաժանումներում և այլն։

Երկրորդ նախագիծ «Իրական թվեր»

Կոտորակները հնարավորություն են տալիս գրել ոչ ամբողջ թվերը։ Կոտորակներով կարելի է լրացնել ամբողջ թվերի միջև եղած միջակայքերը, իսկ դա հնարավորություն է տալիս ավելի ճշգրիտ չափումներ կատարել։ Կա կոտորակային թվերը գրելու 2 եղանակ. այսպես կոչված սովորական կոտորակներ, որը 2 ամբողջ թվերի հարաբերություն է, օրինակ՝ 3/4, և տասնորդական կոտորակներ, օրինակ՝ 0, 75։ Սովորական կոտորակի վերևի թիվն անվանում են համարիչ, ներքևինը՝ հայտարար։

Իսկ տասնորդական կոտորակը, օրինակ՝ 16, 25, գրվում է առանց հայտարարի և կարդացվում «տասնվեց ամբողջ քսանհինգ հարյուրերորդական»։ Տասնորդական կոտորակներում ինչպես ամբողջ թվերի, այնպես էլ ստորակետից հետո եղած թվերի արժեքը կախված է դրանց գրաված տեղից՝ կարգից. յուրաքանչյուր կարգ գնահատվում է 10 անգամ ավելի փոքր, քան ձախ կողմի հարևանը։ Այսպիսով` 16, 25 տասնորդական կոտորակում 2 թիվը նշանակում է 2 տասնորդական, իսկ 5-ը՝ 5 հարյուրերորդական. արդյունքում՝ քսանհինգ հարյուրերորդական։

   Նույնհայտարարով երկու կոտորակներից մեծ է այն կոտորակը,որի համարիչը մեծ է:

Օր՝ 3/5>1/5

Եթե կոտորակիհամարիչն ու հայտարարը իրար հավասար են,կոտորակը հավասար է 1-ի: 

Օր՝5/5=1

Տասնորդական կոտորակները կարող ենք կլորացնել մինչև միավորներ։ Եթե հատվածի վրա դասավորված երկու իրար հաջորդող բնական թվերի միջև գտնվող տասնորդական կոտորակի ստորակետից հետո գրված է 0, 1, 2, 3 կամ 4 թվանշանը, ուրեմն այն ավելի մոտ է իրենից ձախ ընկած բնական թվին։ Իսկ եթե երկու իրար հաջորդող բնական թվերի միջև գտնվող տասնորդական կոտորակի ստորակետից հետո գրված է 6, 7, 8 կամ 9 թվանշանը, ուրեմն այն ավելի մոտ է իրենից աջ ընկած բնական թվին։ Օրինակ, 18.7 թիվը գտնվում է 18-ի և 19-ի միջև, իսկ քանի որ ստորակետից հետո գրված է 7, ուրեմն 18.7 թիվը ավելի մոտ է 19-ին։ Նշանակում է՝ 18.7 թվի փոխարեն կգրենք 19։ 18.7 թվի փոխարինումը 19 թվով անվանում են այդ թվի կլորացում մինչև միավորները։Տասնորդական կոտորակները հարկ է լինում կլորացնել նաև մինչև մյուս կարգերը։ Տասնորդական կոտորակը մինչև որևէ կարգ կլորացնելիս այդ կարգին հաջորդող բոլոր , իսկ եթե նրանք ստորակետից հետո են, ապա դրանք անտեսում են։ Եթե այդ կարգին հաջորդող թվանշանը 5, 6, 7, 8 կամ 9 է, ապա վերջին պահպանվող թվանշանը մեծացնում են 1-ով։ Եթե այդ կարգին հաջորդող առաջին թվանշանը 0, 1, 2, 3 կամ 4 է, ապա վերջին պահպանվող թվանշանը չեն փոխում։Օրինակ 1. 75.3659-ը կլորացնենք մինչև տասնորդականները։ Անտեսենք տասնորդականներին հաջորդող բոլոր թվանշանները։ Անտեսվող թվանշաններից առաջինը 7 թվանշանն է, ուստի տասնորդականների կարգին ավելացնում ենք մեկ.

75.3659 ≈75.4

Տոկոսները կոտորակների հատուկ տեսակ են. «25 տոկոս» (գրվում է 25 %) բառը նշանակում է 25/100, այսինքն` մեկ քառորդ: 50 %-ը նույնն է, ինչ 50/100-ը, այսինքն՝ կեսը: Այսպիսով` տոկոսի նշանը (%) ցույց է տալիս, որ մենք գործ ունենք կոտորակի հետ, որի հայտարարը հավասար է 100-ի:Տոկոսների գրության եղանակը կիրառվում է, երբ հարկավոր է տեղեկություններ հաղորդել որևէ համամասնության վերաբերյալ: Օրինակ՝ եթե մենք հարցաշարի 100 հարցից ճիշտ ենք պատասխանում 70-ին, ապա կարելի է ասել, որ մեր գիտելիքների մակարդակը 70 % է: Տոկոսները հաճախ օգտագործում են աշխատավարձի կամ գների աճը ցույց տալու համար: Եթե սուրճի գինն աճում է 20 %-ով, ապա սրճարանում 200 դրամ արժեցող մեկ գավաթ սուրճը կթանկանա 200/20 դրամով, այսինքն՝ 40 դրամով, և կդառնա 240 դրամ:Երբ վաճառվում է հարկվող ապրանք, ապա հարկը սահմանվում է որոշակի տոկոսով, օրինակ` 25 % հարկը նշանակում է, որ ապրանքի հիմնական գնի յուրաքանչյուր 100 դրամի դիմաց մենք հարկադրված ենք վճարել 25 դրամ հարկ, և եթե ապրանքն արժե 100 դրամ, ապա հարկի հետ միասին այն կարժենա 125 դրամ:

Բացասական Թվեր

Երկու թվերից փոքր է համարվում այն, որի պատկերը կոորդինատային ուղղի վրա դասավորված է ավելի ձախ, և մեծ է համարվում այն, որի պատկերը դասավորված է ավելի աջ:

Կոորդինատային ուղղի վրա դրական թվերը պատկերվում են զրոյից աջ, իսկ բացասականները` զրոյից ձախ: Ուրեմն, յուրաքանխյուր դրական թիվ մեծ է զրոյից, իսկ յուրաքանչյուր բացասական թիվ փոքր է զրոյից, ուստի յուրաքանչյուր բացասական թիվ փոքր է յուրաքանչյուր դրական թվից:
Եթե ուղղի վրա նշենք երկու բացասական թվեր, ապա ավելի ձախ կգտնվի այն թիվը, որի բացարձակ մեծությունը մեծ է: Ուստի երկու բացասական թվերից փոքր է այն թիվը, որի բացարձակ մեծությունը մեծ է, և մեծ է այն, որի բացարձակ մեծությունը փոքր է:

1. 2)180 (90x2=180, 36x5=180)

2. 3)-1/60(առաջին և երկրորդ թվերը բերում ենք ընդհանուր հայտարարի՝180, ապա հանում ենք իրարից ցտանու ենք -3/180, կրճատում ենք 3-ով և ստանում -1/60:)

3.3) 47/380 (թվերը կրկին բերում ենք ընդհանուր հայտարարի այս անգամ գումարում ենք և բաժանում իրենց քանակին տվյալ պարագայում 2-ի)

4. 1) 2/15

1. 2)35
7x100/20=35
2. 3)7
19+9=28
28:4=7
3. 2)11
20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30:
4. 2)2
157x3 (թվի թվանշանները գումարում ենք իրար, ստացվում է 16: Եվ տեսնում ենք, թե տարբերակներից ո՞ր թվի գումարման դեպքում այն կբաժանվի 9-ի) 

Առաջին նախագիծ. «Բնական թվեր»

Այն թվերը, որոնք առաջացել են բնական ձևով առարկաների քանակը հաշվելիս (ինչպես հաշվարկման առումով, այնպես էլ համարակալման առումով)՝ կոչվում են բնական թվեր։

Բացասական և ոչ ամբողջ (ռացիոնալ, իրական, …) թվերը բնական թվեր չեն կարող լինել։ Բոլոր բնական թվերի բազմությունը ընդունված է նշանակել  N –ով:

Ցանկացած բնական թիվ կարելի է վերլուծել ըստ կարգերի, այսինքն ներկայացնել կարգային գումարելիների գումարի տեսքով, օրինակ`

5789=5·1000 + 7·100 + 8·10 + 9

Թվերի վերլուծումն ըստ կարգերի կարելի է կիրառել նաև բազմանիշ տվեր գումարելիս, օրինակ գումարենք 564 և 782 թվերը:

564+782 = (500+60+4)+ (700+80+2)

Կիրառելով գումարման զուգորդական և տեղափոխական օրենքները, ստանում ենք`

564+782 = (500+60+4) + (700+80+2) = (500+700) + (60+80) + (4+2) = 1200 + 140 + 6

Կարգային միավորները կարելի է գրել նաև 10 թվի բնական ցուցիչով աստիճաննեի գումարի տեքով, օրինակ՝

5789 = 5·10³+7·10²+8·10¹+9·10⁰

Թվաբանական գործողություններ բնական թվերով, դրանց հատկությունները

Մաթեմատիկայում թվաբանական գործողություները 4-ն են՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում:

Գումարում՝

45+82=127

503+968=1471

Հանում՝

5023-4792=231

92-64=28

Բազմապատկում՝

87·95= 8265

62·24= 1488

Բաժանում՝

714 : 21= 34

312 : 6= 52

Թվաբանական գործողությունների հատկություններին են՝

Գումարելիների տեղերը փոխելիս գումարը մնում է անփոփոխ։

Հանելիի ու տարբերության գումարը հավասար է նվազելիին։

Արտադրիչների տեղերը փոխելիս արտադրյալը մնում է անփոփոխ։

Բաժանարարի ու քանորդի արտադրյալը հավասար է բաժանելիին։

Պարզ և բաղադրյալ թվեր

Բնական թվերը կարող են լինել պարզ և բաղադրյալ։ Պարզ են կոչվում այն թվերը, որոնք ունեն միայն երկու բաժանարար՝ 1-ը և տվյալ թիվը։ Օրինակ՝ 2, 3, 5, 7, 11,13 ,17...: 2-ը միակ զույգ պարզ թիվն է։

Երեք և ավելի բաժանարար ունեցող թվերը կոչվում են բաղադրյալ։ Բացառություն է համարվում՝ 1 թիվը, որը ունի միայ մեկ բաժանարար՝ 1-ը, այն նույնպես համարվում է բաղադրյալ թիվ։

Բաժանման հայտանիշներ

2-ի բաժանվում են 0, 2, 4, 6, կամ 8 թվանշաններով վերջացող բոլոր թվերը։ Այդ թվերը կոչվում են զույգ։

Թիվը բաժանվում է 3-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի։

Թիվը բաժանվում է 4-ի եթե նրա վերջին 2 թվանշաններով կազմված թիվը բաժանվում է 4-ի, կամ դրանք 0-ներ են։

5-ի բաժանվում են միայն 0-ով կամ 5-ով վերջացող թվերը։

6-ի բաժանվում են 3-ի բաժանվող զույգ թվերը։

Թիվը բաժանվում է 8-ի եթե նրա վերջին 3 թվանշաններով կազմված թիվը բաժանվում է 8-ի, կամ դրանք 0-ներ են։

Թիվը բաժանվում է 9-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի։

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար և ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ

Երկու բնական թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար է կոչվում այն ամենամեծ բնական թիվը, որին բաժանվում են տրված 2 թվերը անմնացորդ։

Երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու համար անհրաժեշտ է՝

1. թվերը վերլուծել պարզ արտադրիչների ,

2. ստացած վերլուծումներում գտնել բոլոր ընդհանուր պարզ արտադրիչները,

3. հաշվել բոլոր ընդհանուր պարզ արտադրիչների արտադրյալը:

Օրինակ՝ 36 և 54-ը

36= 2·2·3·3      54= 2·3·3·3

2·3·3=18

18-ը 36 և 54 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է:

Երկու բնական թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ է կոչվում այն ամենափոքր բնական թիվը, որը բաժանվում է տրված 2 թվերին անմնացորդ։

1. թվերը վերլուծել պարզ արտադրիչների ,

2. այդ թվերից որևէ մեկի վերլուծումը լրացնել մյուսի այն արտադրիչներով, որոնք չկան առաջին թվի վերլուծման մեջ,

3. հաշվել ստացված արտադրյալը:

Օրինակ՝18 և 24 թվերը:

24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3     18 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3

2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 72

72-ը 18 և 24  թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է: 

Շտեմարանային օրինակներ՝
1.

Հետևելով բաժանման հայտանիշից  (թիվը բաժանվում է 9-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի), ապա ճիշտ պատասխանն է 2)-ը, քանի որ 2+9+6+1+0=18, իսկ 18/6= 2
2.




Տրված բառերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար է համարվում՝ 4)8-ը
3.



Ճիշտ պատասխանն է 3)90-ը
4.

1/ ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է 36-ը (12*3=36;18*2=36)
2/12+18=30
   30/2=15
   Պատասխանն է ՝2)15:
3/-12+18=6
   Պատասխանն է `4)6:
4/12*18=216
   216=6*6*6
   Պատասխանն է `1)6

Առաջադրանք 4

 Գծել լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկ և դրանից օգտվելով թվարկել ֆունկցիայի բնութագրիչները:    Պարզագույն լոգարիթմական հավասարումների և անհավասարումների լուծելը:​

Լոգարիթմի հիմնական հատկությունները

Լոգարիթմական ֆունկցիա կոչվում է f (x) = log a = x, որտեղ a-ն 1- ից տարբեր դրական թիվ է: 1)Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը դրական կիսառանցքն է՝ D(f)=(0,∞): 2)Ֆունկցիայի արժեքների բազմությունն ամբողջ թվային առանցքն է՝ E(f)=(− ∞,∞): 3)Ֆունկցիան մոնոտոն է իր որոշման տիրույթում: Ընդ որում այն աճող է, եթե ՝ a > 1, և նվազող՝ եթե 0 < a <1: 4)Ֆունկցիան 0 արժեքն ընդունում է x=1 կետում: 5)ա) a > 1 դեպքում ֆունկցիան բացասական է (0,1) և դրական ( 1,∞) միջակայքերում: բ) 0 < a < 1 դեպքում ֆունկցիան դրական է (0,1) և դրական ( 1,∞) միջակայքերում:

Log₄8=log₂²2³=3/2

Log₅25=log₅5²=2

Lg25+lg4=lg100=lg10²=2

Log₃3⁴=4log₃3=4

Առաջադրանք 5:

GeoGebra ծրագրով գծեք միավոր շրջանագիծ: Օգտվելով գծագրից հինգ տարբեր անկյունների համար գտեք դրանց սինուսը և կոսինուսը: Գտած անկյունների համար ստուգեք եռանկյունաչափական հիմնական նույնությունը:


Sin45=0,71
Cos45=0,71


 














Sin30=0,5
Cos30=0,87

Sin60=0,87

Cos60=0,5

Sin35=0,57

Cos35=0.82

Sin15=0.26
Cos15=0.97

Sin²α+cos² α=1

Sin²30+cos²30=1

1-sin²30=cos²30

1-0.25=0.75

Cos²=0.75

Cos=0.87

Աստիճանային Ֆունկցիա

Աստիճանային ֆունկցիա կոչվում է f (x)=x^a բանաձևով տրված ֆունկցիան, որտեղ a-ն բացի զրոյից ցանկացած թիվ է:

Բնական ցուցիչով աստիճանային ֆունկցիան իր շատ հատկություններովնման է գծային ֆունկցիային, երբ n-կենտ է, և քառակուսայինֆունկցիային, երբ n-ը զույգ է:

 Ուսումնասիրենք f (x)=x^n ֆունկցիայի հատկություններն այն դեպքում, երբ n-ը կենտ է:

Ֆունկցիայի որոշմանտիրույթն ամբողջովինթվային առանցքն է:

 D (f)=(-∞; +∞)

Ֆունկցիան կենտ է, քանիոր կենտ n-ի դեպքում   f (-x)=(-x)^n=-x^n=-f (x)

Ֆունկցիան ունի մեկ զրո` f (0)=0

Ֆունկցան դրական է, երբx € (0; +∞), և բացասականէ, երբ x € (-∞; 0)

Եթե n-ը կենտ է, ապաֆունկցիայի գրաֆիկըգտնվում է առաջին ևերրորդ քառորդներում: Ֆունկցիայի որոշման տիրույթն ամբողջ թվայինառանցքն է D (f)=(-∞;+∞)

Ֆունկցիան աճում է ամբողջ թվային առանցքի վրա:

Ֆունկցիայի արժեքների բազմությունն ամբողջ թվային առանցքն է E (f)=(-∞; +∞), որովհետև ֆունկցիան ընդունում է ցանկացած կամայականիրական արժեք: Հետևաբար` ֆունկցիան անսահմանափակ է և չունիմեծագույն ու փոքրագույն արժեքներ:

Ուսումնասիրենք f (x)=x^n ֆունկցիայի հատկություններն այնդեպքում, երբ n-ը զույգ է:

Ֆունկցիայի որոշմանտիրույթն ամբողջովինթվային առանցքն է:

D (f)=(-∞; +∞)

Ֆունկցիան զույգ է, որովհետևf (-x)=(-x)^n=x^n=f (x)

Ֆունկցիան ունի մեկ 0, f (0)=0

Ֆունկցիան դրական է, երբ x0, և ֆունկցիայի գրաֆիկըգտնվում է առաջին ուերկրորդ քառորդներում: 

Ֆունկցիան աճում է (-∞;0] միջակայքում և աճում  [0;+∞) միջակայքում:

Ֆունկցիայի փոքրագույնարժեքը 0-ն է, որըֆունկցիան ընդունում է x=0 կետում: 

Ֆունկցիան չունիմեծագույն արժեք:

Ֆունկցիայի արժեքներիբազմությունը ոչբացասական թվերիբազմությունն է` E (f)=[0; +∞)